Quelques éléments sur la théorie du chaos

1 Système dynamique

Un système dynamique est un système physique qui évolue. Il peut évoluer dans le temps ou par rapport à une autre variable suivant l'espace de phases considéré (on reviendra sur le terme 'espace de phases' dans ce chapitre). La trajectoire d'un objet en mouvement dans le temps est donc un système dynamique, ainsi que le nombre d'individu d'une population quelconque dans le temps, ou encore les valeurs d'une fonction (par exemple : y = 2x) par rapport à la valeur de x.

2 Modèle déterministe, modèle stochastique ou modèle chaotique ?

On peut différencier trois sortes de systèmes dynamiques, les systèmes aléatoires (aussi appelés systèmes stochastiques), les systèmes déterministes et les systèmes chaotiques. Les systèmes aléatoires évoluent comme leur nom l'indique au hasard dans tout l'espace sans qu'aucune équation ne les régisse, sans qu'aucune prévision exacte soit possible dans le temps. Les systèmes déterministes sont des systèmes régis par des lois mathématiques bien connues, on peut donc prévoir exactement l'évolution de ces systèmes dans le temps. Les systèmes chaotiques, quant à eux, ont un comportement infiniment complexe. Ils sont irrésistiblement attirés par une figure géométrique de structure également infiniment complexe sur laquelle ils semblent errer au hasard, mais sans jamais la quitter, ni repasser deux fois par le même point. Les attracteurs qui caractérisent ces systèmes, semblent inclure à la fois des lois déterministes et des lois aléatoires, ce qui rend impossible toute prévision à long terme impossible.

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3 Espace des phases

Il est possible de suivre l'évolution de l'état d'un système physique dans le temps. Pour cela, on construit d'abord un modèle avec les lois physiques et les paramètres nécessaires et suffisants pour caractériser le système. Ce modèle est bien souvent constitué par des équations différentielles. On définira, à un instant donné, un point dans un "repère". Ce point caractérisera l'état du système dans l'espace à cet instant. Cet espace est appelé "l'espace des phases". Lorsque la variable d'évolution change de valeur (quand le temps s'écoule, par exemple), le point figurant l'état du système décrit en général une courbe dans cette espace. Il faut bien comprendre qu'il n'existe aucune relation entre un cas d'image à trois dimensions et notre espace de phases tridimensionnel. Il s'agit là d'un espace purement mathématique qui comporte autant de dimensions qu'il y a de paramètres dans le système dynamique étudié. Ainsi on pourrait très bien imaginer se retrouver à manipuler un espace de phases à 216 dimensions, si le système dynamique analysé implique 216 paramètres (toute difficulté géométrique mise à part...). Dans l'espace des phases, la position d'une balle de tennis est déterminée non pas par les trois coordonnées spatiales, mais aussi par trois coordonnées de vitesses : la vitesse de haut en bas, celle de droite à gauche, celle d'avant en arrière (ou vice versa). Il faut donc six dimensions pour décrire totalement une balle de tennis. Prenons par exemple un système à 3 dimensions : x, y et z. On va pouvoir tracer 3 graphiques dans l'espace des phases à 2 dimensions :

• en fonction de x et de y.
• en fonction de x et de t.
• en fonction de y et de t.

On considérant un espace des phases à 3 dimensions, on ne peut tracer ici qu'un graphique.

Le système (a) converge vers un état d'équilibre après maintes oscillations, ce qui correspond dans l'espace des phases à des boucles qui convergent vers un point. Le système (b) se répète périodiquement, ce qui correspond dans l'espace des phases à une orbite cyclique. Le système (c) a également un mouvement périodique mais plus complexe ; il se répète seulement après trois oscillations différentes : on dit qu'il possède un cycle de période 3. Cela correspond à des boucles plus compliquées dans l'espace des phases. Le système (d) est chaotique, et dans l'espace des phases, il possède la forme en aile de papillon de l'attracteur étrange de Lorenz.

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4 Les attracteurs étranges

4.1 Définition

L'attracteur étrange est une représentation d'un système chaotique dans un espace de phases bien précis, mais on peut trouver des attracteurs dans beaucoup de systèmes dynamiques non chaotiques également. On distingue trois types d'attracteurs :

• Le point fixe : Cet attracteur est le moins étrange des trois, il caractérise simplement un système atteignant un état stationnaire (Par exemple : on laisse balancer un pendule au bout d'une ficelle).
• Le cercle - limite : Il caractérise un système atteignant un état répétitif. Plus explicitement, prenons un cerceau qu'un enfant ferait tourner infiniment autour de sa taille, lorsqu'il le lance le cerceau a une trajectoire imparfaite, mais il prend de la vitesse et au bout d'un moment, sa trajectoire va se stabiliser et former des cercles parfaits, il aura atteint son état répétitif.
• L'attracteur étrange : L'attracteur le plus étrange des attracteurs car il décrit les systèmes chaotiques. L'attracteur étrange désigne une figure dans l'espace représentant le comportement d'un système dynamique. L'attraction des trajectoires autour de l'attracteur est liée au caractère chaotique du système réel. Par exemple : le mouvement de la Terre par rapport au soleil est un système périodique. D'après les lois de Newton, nous connaissons parfaitement les futurs mouvements de notre planète ; seulement à l'échelle de l'univers, ces lois sont fausses car elles ne tiennent pas compte de tout les paramètres entrant réellement en jeu. Mais la Terre se retrouve néanmoins régulièrement dans les mêmes états par rapport au soleil. Les points représentant ces états finirons par décrire une figure ; cette figure constitue l'attracteur de ce système. Quelques soit l'état initial de la planète, les points définissant ses différents états décrirons finalement toujours cette figure.

4.2 Quelques exemples d'attracteurs

A gauche l'attracteur fixe obtenu par modélisation d'un pendule simple suspendu à une ficelle et avec les forces de frottements. A droite l'attracteur circulaire qui peut être obtenu par le lancer d'une balle attachée à un socle sans forces de frottements (dans le vide).

L'attracteur du système de Lorenz appelé aussi le papillon de Lorenz. C'est le plus connu et le premier des attracteurs étudiés, il en existe beaucoup d'autre aux formes très étranges.

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